Kilka słów o graniastosłupach

zadanie 1:
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątnyABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE, CF. Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie najłatwiej jest zacząć od sporządzenia rysunku pomocniczego

Wiemy, że pole trójkąta ABF wynosi 52. Dzięki temu możemy wyliczyć jego wysokość FG. Wysokość CG trójkąta ABCD tworzy z wysokością FG i Wysokości h graniastosłupa trójkąta prostokątny (jest to rzut prostokątny FC na płaszczyzne ABC). Dzięki temu z łatwością możemy obliczyć wysokość graniastosłupa.

1. Wyliczenie długości FG

2. Wyliczenie długości CG  (skorzystanie ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego)

3. Wyliczenie długości Wysokości Graniastosłupa H (zastosowanie twierdzenia Pitagorasa) 

4. Wyliczenie pola podstawy graniastosłupa

5. Obliczenie objętości graniastosłupa. 

zadanie 2

 Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 2 : 3 . Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu. 

Zadanie zaczynamy od sporządzenia rysunku pomocniczego (boki mogą być oznaczone w dowolny sposób) .

 Pod wzór na pole powierzcni całkowitej podstawiamy dane, co pozwoli wyliczyć niewiadomą X

Pc= 2Pp + Pb

198 = 2* x* 2x + 2* x* 3x + 2* 2x* 3x

198= 4 x² + 6 x² + 12 x²   

198= 22 x²

x² = 9

x = 3

Teraz łatwo można odszukać długości krawędzi

a= x = 3

b = 2x = 6

c = 3x = 9

Długość przekątnej można wyliczyć stosując zależność: 

Kilka słów o ciagach

Zadanie 1
O pewnym ciągu arytmetycznym można powiedzieć, że ma dziesięć wyrazów. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 75, a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 90. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.
 
Zadanie to należny rozpocząć od ułożenia układu równań na podstawie treść zawartych w treści

Następnie każdy wyraz ciągu w układzie równań przekształcamy z zastosowaniem wzoru na "n-ty" wyraz ciągu:

np:
a₃ = a₁ + 2r 

Dzięki temu otrzymujemy poniższy układ równań.

Aby wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu -a1 , wystarczy rozwiązać otrzymany układ równań.

Rozwiązanie pozwoliło wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu, który jest równy 3 .

Zadanie 2

Ciąg (9, x, 19) jest arytmetyczny, a ciąg (x, 42, y, z) jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.

Zadanie należy zacząć od wyznaczenia x za pomocą własności: 

Otrzymaną wartość można podstawić pod ciąg geometryczny

(14, 42, y, z)

Dzieląc drugi wyraz ciągu przez pierwszy możemy odnaleźć iloraz tego ciągu: 

y i z można wyliczyć podstawiając a1 (czyli x) i q pod wzór na n-ty wyraz ciągu: 

Powyższe obliczenia pozoliły na wyznaczenie kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, który wygląda następująco : (14, 42, 126, 378).

Przykładowe zadana maturalne- prawdopodobienstwo

Zadanie 1
Dane są dwa podzbiory liczb całkowitych: K = {-4, -1, 1, 5, 6} i L = {-3, -2, 2, 3, 4}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
 (zadanie pochodzi z czerwcowej matury 2014 roku)
 Rozwiązanie rozpoczynamy od ułożenia "drzewka", w którym każdej liczbie ze zbioru K przypasujemy liczbę ze zbioru L.

Teraz możemy łatwo obliczyć omegę.
Ω= 5 * 5= 25

Z pośród otrzymanych na drzewku par wybieramy te, których iloraz jest dodatni- obie liczby z pary muszą być dodatnie, lub obie muszą być ujemne.

Wartość zbioru wynosi 13. Prawdopodobieństwo obliczamy poprzez zastosowanie wzoru:

P = 13/20

Zadanie 2

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zasypanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4. Cyfry mogą się powarzać.
 Do rozwiązania tego zadania również można posłużyć się metodą drzewka.

Teraz wystarczy zsymować wszystki cyfry w łatwy sposub:
Pojawia się po 16 możliwości w których liczbą setek jest 1, 16 w których jest 2 itd

16*100+ 16*200+16*300+16*400= 1600+3200+4800+6400= 16000

Pojawia się po 16 możliwość w których liczbami 10 są poszczególne cyfry
16*10+16*20+16*30+16*40=160+320+480+640= 1600

Pojawia się po 16 możliwość w których liczną jedności są poszczególne cyfry
16*1+16*2+15*3+16*4=16+32+48+64= 160

Teraz wystarczy zsumować poszczególne sumy dla uzyskania wyniuku

16000+1600+160= 17760

Kilka słów o wzorach skróconego mnożenia.

Na poziomie podstawowym wprowadzane są tylko poniżej zamieszczone zwory skroconego mnożenia:

Warto jest rozszerzyć swoją wiedzę o wzory wprowadzane na poziomie rozszerzonym, które mogę znacznie ułatwić rozwiązanie części zadań, których przykłady zamieszczę poniżej

Zadanie 1:
Wykaż, że liczba 11¹²-7¹² jest podzielna przez 17.

^{Zadanie to można rozwiązać stosując trzeci z zamieszczonych wzorów:}

Zadanie 2
Rozwiąż równanie: