Kilka słów o ciągach

Zadanie 1

Iloczyn wyrazów piątego, szóstego i siódmego ciągu geometrycznego a_n jest równy 64, a suma pierwszego i szóstego wyrazu ciągu jest równa 4,125. Oblicz pierwszy wyraz ciągu a_n.

a₅, a₆, a₇ - to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.

Dla takiego ciągu zachodz zależność.

a_n²= a_n-1 * a_n+1

A więc:

a₆² = a₅ * a₇

Iloczyn tych wyraców można zapisać w danej postaci:

a₅ * a₆ * a₇ =a₆² * a₆

a₅ * a₆ * a₇ =a₆³

Z treści zadania wiadomo, ze iloczyn ten jest równy 64

a₆³=64

a₆=4

Z treści zadania wiemy, ze:

a₁ + a₆ = 4,125

Podstawiając pod równanie otrzymaną wartość otrzymamy:

a₁ + 4= 4,125 /-4

a₁  = 0,125

ODP: Pierwsz wyraz ciagu wynosi 0,125

Zadanie 2

Pierwszy wyraz ciągu aretmetycznego a_n jest równy 2. Znajdź różnicę tego ciagu, wiedząc, że ciąg (a_3, a₇, a₁₇) jest geometryczy.

Wzór na n-ty wyraz ciągu atytetycznego jest następujący:

a_n= a₁ + (n - 1) *r

Wyrazy 3. , 7. i 17. można zapisać w następującej postaci:

a₃= 2 + 2r

a₇= 2 + 6r

a₁₇= 2 +16r

Ciąg (a_3, a₇, a₁₇) jest geometryczy, więc:

a_n²= a_n-1 * a_n+1

(2 + 6r)² = (2+ 2r)( 2 +16r)

4 +  24r + 36r² = 4 + 32r + 4 r +32r²

  24r + 36r² =  32r + 4 r +32r²

4 r² - 12r = 0

r² - 3r = 0

Δ= 9 - 0 = 9

r₁ = (3 +3): 2= 3

r₁ = (3 -3): 2= 0

Gdyby r równało się zero, to ciąg byłby sprzeczny, dlatego pod uwagę bierzemy tylko pierwsze rozwiazanie. Gdy r jest równe 3 ciąg jest rosnący. Zatem szukana rózniaca ciągu to 3.

Kilka słów o funkcji kwadratowej

Kilka słów o geometrii płaskiej.

Kilka słów o trapezach

Kilka zadań na dowodzenie

Kilka słów o procentach...

zadanie 1:
Świerze grzyby zawierają 90% wody. W wyniku suszenia masa grzybów zmniejszyła się ośmiokrotnie. Ile procent wody zawierają suszone grzyby.

Woda w świeżych grzybach wynosi 90% masy całkowitej grzyba. Czyli w stanowi 0,9 masy grzyba.

Przyjmijmy , że g to masa całkowita grzyba. W tym wypadu masa wody to 0,9 g. 

Po suszeniu masa grzybów wynosi 1/8 g.  W procesie suszenia z grzyba odparowało 7/8 g wody.

Suszone grzyby zawierając więc następującą ilość wody:

 Aby  obliczyć zawartość procentową wody w suszonych grzybach należy podzielić masę wody w suszonych grzybach przez  masę całkowitą suszonych grzybów.

Suszone grzyby zawierają więc 20% wody.

zadanie 2

Za 100 kg mleka o zawartości 3,8 % tłuszczu odciągnięto 10 kg śmietanki zawierającej 20% tłuszczu. Ile procent tłuszczu zawiera odtłuszczone mleko.

Masa tłuszczu w w mleku po odciągnięciu wynosi:

100 kg * 3,8% = 3,8 kg

Masa tłuszczu w odciągniętym mleku wynosi:

10 kg * 20 % = 2 kg

Masa tłuszczu w mleku po odciągnięciu wynosi:

3,8 kg - 2 kg = 1,8 kg

Masa mleka po odciągnięciu wynosi 90 kg.

Aby obliczyć zawartość procentową tłuszczu w mleku po odciągnięciu należny podzielić masę tłuszczu przez masę mleka i pomnożyć ten iloraz razy 100 %.

Zawartość tłuszczu w odtłuszczonym mleku wynosi 2%  

Kilka słów o geometrii przestrzennej - bryły obrotowe. Walec.