Kilka słów o geometrii analitycznej cz. 2

zadanie 1

Prosta k: 3x-y-3=0 przecina parabolę o równaniu y= -x²-2x+3 w punktach A i B

a) Oblicz współrzędne punktów A i B

b) Oblicz pole trójkąta ABW, gdzie W jest wierzchołkiem paraboli

c)Oblicz odległość punktu W od prostej k

a)

Do wykonania tego podpunktu potrzebujemy wyznaczyć punkty A i B. Najlepszym sposobem na to jest odnalezienie niewiadomych x i y - współrzędnych punktów A i B, poprzez rozwiązanie układu równań złożonego z równania prostej i paraboli.   

Z powyższego rozwiązania wynika, że współrzędne punktu A to (-6,-21), a punktu B (1,0).

b)

Aby obliczyć pole trójkąta musimy najpierw znaleźć współrzędne W, poprzez zastosowanie wzorów:

Z obliczeń wynika, że W wynosi (-1,-4)

Pole trójkąta ABW można obliczyć poprzez zastosowanie wzoru:

c)

Ten podpunkt można w łatwy sposób rozwiązać poprzez zastosowanie wzoru"

Zadanie 2

Napisz równanie ogólne wspólnej osi symetrii okręgów:

o₁=x²+y²-2x+4y+1=0

o₂=x²+y²+2x-4y-4=0

Zadanie to można rozwiązać korzystając z przekształcenia równania okręgu, które pozwoli na ustalenie współrzędnych środków kręgów:

Teraz dla wyznaczenia osi symetrii wystarczy znlexć prostą przechodząca przez oba środki okręgów, co umożliwi wzór:

W ten oto sposób otrzymaliśmy równanie osi symetrii okręgów.

Kilka słów o geometrii analitycznej.

Geometria analityczna pojawia się prawie na każdej maturze. Czasem zadania bywają naprawdę skomplikowane. Pomocne wtedy mogę stać się dwa wzory, które nie są wprowadzane na lekcjach poziomu podstawowego. Oto zadania z ich zastosowaniem.

Kilka słów o równaniach...

Rozwiązywanie równań często bywa uciążliwe. Zwłaszcza w przypadku bardziej skomplikowanych przykładów, podczas rozwiązywania których trzeba wpaść na pomysł rozwiązania. Na szczęście można sobie z nimi poradzić stosując Schemat Hornera i twierdzenie Bezouta

Schemat Hornera – sposób obliczania wartości wielomianu dla danej wartości argumentu wykorzystujący minimalną liczbę mnożeń, jest to również algorytm dzielenia wielomianu ${\displaystyle W(x)\;}$ przez dwumian ${\displaystyle x-c\;}$

Twierdzenie Bezouta- wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x−a) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu.

  

Aby pokazać, jak praktyczny ten sposób jest rozwiąże następujące zadanie na dwa sposoby.

Zadanie 1

Rozwiąż równanie:

Ten sposób byl nieco skomplikowany.

Warto zauważyć, że podane równanie można potraktować jako pierwiastek wielomianu W(x)=x^3+x-2, co pozwala na zastosowanie twierdzenie Bezuota.

Kilka słów o wartości bezwzględnej.

Chyba każdy zna tradycyjny wzór na deltę, który umożliwia rozwiązanie nierówności kwadratowej. Lecz poza tradycyjnym (znienawidzonym przez wielu) sposobem, można poradzić sobie z tym typem równań w inny sposób. A mianowicie mówię o zastosowaniu twierdzenia na własności wartości bezwzględnej:

Kolejna własność  wartości bezwzględnych, którą chce omówić jest wygląda następująco"

Jej zastosowanie pokarzę na zadaniu pochodzącym z próbnej matury z Nową Erą z roku 2017

  

Łatwo byłoby podrostu wyłączyć potęgę spod pierwiastka w następujący sposób, który oczywiście jest błędny:

A oto poprawny sposób rozwiązania zadania:

Pierwsze rozwiązanie  zostało odrzucone z oczywistych powodów- wartość bezwzględna zawsze jest liczbą dodatnią.

Kolejne własności wartości bezwzględnej również jest bardzo przydatna

Zastosowanie tych własności pokażę na poniższym przykładzie:

Kilka słów o sobie

Hej!

Mam na imię Kasia, jestem uczennicą 3 klasy liceum, a więc w tym roku czeka mnie egzamin maturalny. Mimo, że jestem w klasie humanistycznej to zawsze kochałam matematykę . 

W ramach projektu –"Mazowiecki program stypendialny dla uczniów szczególnie uzdolnionych – najlepsza inwestycja w człowieka w roku szkolnym 2017/2018" postanowiłam rzwijać swoje umiejętności matematyczne, które pozwolą mi na zgębienie tejników królowej nauk, którą jest matematyka. Fundusze uzyskane w ramach projektu umożliwą mi poznanie zagadnień z programu rozszrzonego matematyki, które mogą okazać się przydatne na maturzę na pozimie podstawowym. 

Postanowiłam dzielić się z Wami moją matematyczną przygodą, pokazać, że matematyka dla humanisty wcale nie jest taka straszna, że może ona być pasją. Mam nadzieję, że mój blog i ciekawe zadania, które będę na nim umieszczała będą dla Was mobilizacją do własnej pracy i poszerzania perspektyw oraz pomocą w przygotowaniu do własnego egzaminu dojrzałości

Zapraszam już od stycznia na cotygodniową partię ciekawych zadań i świerzej wiedzy !