Zadanie 1
Iloczyn wyrazów piątego, szóstego i
siódmego ciągu geometrycznego an jest równy 64, a suma pierwszego i
szóstego wyrazu ciągu jest równa 4,125. Oblicz pierwszy wyraz ciągu an.
a5,
a6, a7 - to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.
Dla
takiego ciągu zachodz zależność.
an2=
an-1 * an+1
A więc:
a62 = a5
* a7
Iloczyn
tych wyraców można zapisać w danej postaci:
a5
* a6 * a7 =a62 * a6
a5
* a6 * a7 =a63
Z
treści zadania wiadomo, ze iloczyn ten jest równy 64
a63=64
a6=4
Z
treści zadania wiemy, ze:
a1 + a6
= 4,125
Podstawiając
pod równanie otrzymaną wartość otrzymamy:
a1 + 4= 4,125 /-4
a1 = 0,125
ODP: Pierwsz wyraz ciagu
wynosi 0,125
Zadanie 2
Pierwszy wyraz ciągu aretmetycznego an
jest równy 2. Znajdź różnicę tego ciagu, wiedząc, że ciąg (a3,
a7, a17) jest geometryczy.
Wzór
na n-ty wyraz ciągu atytetycznego jest następujący:
an= a1 +
(n - 1) *r
Wyrazy
3. , 7. i 17. można zapisać w następującej postaci:
a3= 2 + 2r
a7=
2 + 6r
a17=
2 +16r
Ciąg (a3,
a7, a17) jest geometryczy, więc:
an2=
an-1 * an+1
(2 + 6r)2
= (2+ 2r)( 2 +16r)
4 + 24r + 36r2 = 4 + 32r
+ 4 r +32r2
24r
+ 36r2 = 32r +
4 r +32r2
4 r2
- 12r = 0
r2 - 3r = 0
Δ= 9 - 0 = 9
r1 = (3 +3): 2= 3
r1 = (3 -3): 2= 0
Gdyby
r równało się zero, to ciąg byłby sprzeczny, dlatego pod uwagę bierzemy tylko
pierwsze rozwiazanie. Gdy r jest równe 3 ciąg jest rosnący. Zatem szukana
rózniaca ciągu to 3.